Neste artigo, exploraremos um tema crucial para o sucesso no ENEM e em diversos vestibulares: as funções exponenciais e logarítmicas. Esses conceitos têm aplicações em várias áreas da Matemática e são frequentemente abordados em questões desafiadoras. Compreender profundamente essas funções é essencial não apenas para resolver problemas matemáticos, mas também para desenvolver habilidades analíticas e críticas. Portanto, vamos mergulhar nesse assunto importante e entender como o reforço escolar pode nos ajudar a dominá-lo completamente.
A variação de inúmeras grandezas pode ser representada por uma sequência numérica em que o produto de um termo por uma taxa constante é o termo seguinte; por exemplo: crescimento populacional, decaimento radioativo e os montantes acumulados em uma aplicação financeira. Essas variações podem ser estudadas pela função exponencial. A inversa da função exponencial é a função logarítmica.
A função exponencial
Chama-se função exponencial toda função f: ℝ → ℝ, tal que:
f(x) = aˣ, com a ∈ ℝ+* e a ≠ 1.
A função exponencial f(x) = aˣ é injetora, isto é, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:
aˣ¹ = aˣ² ⇔ x₁ = x₂
Note que essa função também é sobrejetora, pois para qualquer y, com y ∈ ℝ*, existe x, com x ∈ ℝ, tal que y = aˣ.
A função exponencial f(x) = aˣ, com a > 1, é crescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:
aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ > x₁
A função exponencial f(x) = aˣ, com 0 < a < 1, é decrescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:
aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ < x₁
Equação exponencial
Equação exponencial é toda equação que apresenta a incógnita no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.
A resolução de uma equação exponencial baseia-se na equivalência:
aˣ¹ = aˣ² ⇔ x₁ = x₂
Inequação exponencial
Inequação exponencial é toda inequação que apresenta a variável no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.
As resoluções de uma inequação exponencial baseiam-se nas equivalências:
- Para a > 1: aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ > x₁
- Para 0 < a < 1: aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ < x₁
Logaritmo
Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bˣ = a.
logb a = x ⇔ bˣ = a
Na sentença logb a = x:
- a é o logaritmando;
- b é a base do logaritmo;
- x é o logaritmo de a na base b.
Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10. Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida).
Dado um número real a positivo, chama-se logaritmo natural do número a aquele cuja base é o número de Napier (e = 2,7182818285) Indicamos esse logaritmo natural simplesmente por ln a:
ln a = loge a
Também chamamos o logaritmo natural de logaritmo neperiano.
Propriedades dos logaritmos
Para quaisquer números reais positivos a, b e c, com b ≠ 1, temos:
- logb b = 1 (base e logaritmando iguais, resulta 1)
- logb 1= 0 (logaritmando igual a 1, resulta 0)
- logb bⁿ = n (logaritmando é uma potência, cuja base é igual a base do log, resulta no expoente da potência)
- logb (a*c) = logb a + logb c (multiplicação transforma em soma)
- logb (a/c) = logb a - logb c (divisão transforma em subtração)
- logb aⁿ = n * logb a (potência transforma em multiplicação)
- b^(logb a) = a (uma potência cujo expoente é um log e a base da potência é igual a base da potência, resulta no logaritmando)
- logb a = logk a / logk b, com k ∈ ℝ+* e k ≠ 1 (mudança de base: escolha uma base nova de seu interesse e aplique a fórmula)
A função logarítmica
Chama-se função logarítmica toda função ℝ+* → ℝ, tal que:
f(x) = logb x, com b ∈ ℝ+* e b ≠ 1
A função logarítmica f(x) = logb x é injetora, isto é, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:
logb x₁ = logb x₂ ⇔ x₁ = x₂
Note que essa função também é sobrejetora, pois para qualquer y, com y ∈ ℝ, existe x, com x ∈ ℝ+* tal que y = logb x.
A função logarítmica f(x) = logb x, com b > 1, é crescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:
logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ > x₁
A função logarítmica f(x) = logb x, com 0 < b <1, é decrescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:
logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ < x₁
A inversa da função logarítmica
A inversa da função logarítmica f(x) = logb x é a função exponencial
f⁻¹(x) = bˣ
Note, em cada figura, que os gráficos de f e de f⁻¹ são simétricos em relação à reta y = x, bissetriz dos quadrantes ímpares.
Equação logarítmica
Equação logarítmica é toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo. A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na equivalência:
logb x₁ = logb x₂ ⇔ x₁ = x₂
Inequação logarítmica
Inequação logarítmica é toda inequação que apresenta a variável no logaritmando ou na base de um logaritmo. As resoluções de uma inequação logarítmica baseiam-se nas equivalências:
- Para b > 1: logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ > x₁
- Para 0 < b < 1: logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ < x₁
Importância do Reforço Escolar
Dominar as funções exponenciais e logarítmicas é fundamental para obter sucesso nas provas de Matemática do ENEM e de outros vestibulares. No entanto, para alcançar um entendimento completo desses conceitos e suas aplicações, é crucial investir em reforço escolar. Com a orientação de professores especializados e prática adicional, podemos fortalecer nossa compreensão e habilidades nessa área. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Ele desempenha um papel vital no desenvolvimento de competências matemáticas e na preparação para os desafios acadêmicos futuros.
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