Matemática para Enem: Tema 8 - Progressão aritmética e progressão geométrica

Bem-vindo ao nosso guia dedicado ao tema "Progressão aritmética e progressão geométrica". Nesta exploração, mergulharemos nas propriedades e aplicações dessas importantes sequências numéricas. A progressão aritmética, com sua razão constante, e a progressão geométrica, com seus múltiplos constantes, desempenham papéis fundamentais em diversas áreas, desde finanças até ciências naturais. Compreender esses conceitos não apenas é essencial para resolver problemas de matemática, mas também para desenvolver habilidades analíticas importantes. Portanto, vamos explorar profundamente essas progressões e destacar a importância do reforço escolar para um aprendizado completo.

Qualquer conjunto cujos elementos obedecem a uma ordem é uma sequência. No cotidiano, encontramos várias sequências: a lista de chamada de uma turma, as palavras em um dicionário, a classificação dos alunos aprovados no vestibular etc. 

O conceito de sequência

Sequência finita é toda função de domínio A = {1, 2, 3, ..., n} com A ⊂ ℕ* e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não vazio.

Sequência infinita é toda função de domínio ℕ* = {1, 2, 3, ...} e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não vazio. 

Cada elemento de uma sequência é também chamado de termo da sequência. O termo que ocupa a posição de número n é indicado pelo símbolo aₙ. 

Em uma sequência finita (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ), os termos a₁ e aₙ, são os extremos da sequência.

Dois termos, aᵢ, e aⱼ são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que precedem aᵢ, é igual à quantidade de termos que sucedem aⱼ. 

Um termo aₘ, é chamado de termo médio de uma sequência com número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que antecedem aₘ, é igual à quantidade de termos que o sucedem.

Lei de formação da sequência é um conjunto de informações que determina todos os termos de uma sequência e a ordem em que são apresentados. 

Progressão aritmética (PA) 

PA é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. 

(a₁, a₂ = a₁+r, a₃ = a₂+r, ..., aₙ = aₙ₋₁+r)

Classificação

• Crescente 
• Cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior:
• r > 0 
• Decrescente 
• Cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior:
• r < 0 
• Constante 
• Todos os termos são iguais:
• r = 0 

Representação genérica

Dados x e r números reais, podemos usar as seguintes representações: 

• PA de 3 termos
• Razão =  r: (x, x + r, x + 2r)
• Razão =  r: (x - r, x, x + r)
• PA de 4 termos
• Razão =  r: (x, x + r, x + 2r, x + 3r)
• Razão =  2r: (x - 3r, x - r, x, x + 3r)

Fórmula do termo geral 

Numa PA (a₁, a₂, a₃, ... aₙ) de razão r, temos: 

aₙ = a₁ + (n - 1) * r 

De maneira geral, temos: 

aₙ = aₖ + (n - k) * r

Representação gráfica 

A representação gráfica da PA (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) é formada pelos pontos (n, aₙ) do plano cartesiano. Esses pontos pertencem à reta de equação y = a₁ + (n - 1) * r. 

Propriedades

Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes das extremos é igual à soma dos extremos. 

a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = ... = aₖ₊₁ + aₙ₋ₖ

Uma sequência de três termos é uma PA se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre os outros dois: 

(a, b, c) é PA ⇔ b = (a + c) / 2 

Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética entre os extremos.

Soma dos n primeiros termos

A soma Sₙ das n primeiros termos da PA (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) é dada por: 

Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2

Progressão geométrica (PG) 

PG é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior com uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica. 

(a₁, a₂ = a₁*r, a₃ = a₂*r, ..., aₙ = aₙ₋₁*r)

Classificação

• Crescente 
• Cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior:
• a₁ > 0 e q >1 ou a₁ < 0 e 0 < q < 1 
• Decrescente
• Cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior:
• a₁ > 0 e 0 < q <1 ou a₁ < 0 e q > 1 
• Constante 
• Todos os termos são iguais:
• q = 1 ou aₙ = 0, para todo n
• Oscilante 
• Todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos:
• a₁ ≠ 0 e q < 0 
• Quase nula 
• O primeiro termo é diferente de zero e os demais são iguais a zero:
• a₁ ≠ 0 e q = 0 

Representação genérica 

Dados x e q números reais, podemos usar as seguintes representações: 

• PG de 3 termos
• Razão =  q: (x, xq, xq²)
• Razão =  q, com q ≠ 0: (x/q, x, xq)
• PG de 4 termos
• Razão =  q: (x, xq, xq², xq³)
• Razão =  q², com q ≠ 0: (x/q³, x/q, x, xq³)

Fórmula do termo geral

Numa PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q, temos: 

aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹

De maneira geral, temos: 

aₙ = aₖ * qⁿ⁻ᵏ

Representação gráfica 

A representação gráfica da PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) é formada pelos pontos (n, aₙ) do plano cartesiano tais que: 

se q > 0 e q ≠ 1, essa representação gráfica é formada por pontos do gráfico da função exponencial y = /q * qˣ.

se q < 0 ou q = 1, essa representação gráfica é formada por pontos que não pertencem ao gráfico de uma função exponencial. 

Propriedades

Em toda PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. 

a₁ * aₙ = a₂ * aₙ₋₁ = ... = aₖ₊₁ * aₙ₋ₖ

Uma sequência de três termos, em que o primeiro é diferente de zero, é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Assim, sendo a ≠ 0: 

(a, b, c) é PG ⇔ b² = a * c 

Em uma PG com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos. 

Soma dos n primeiros termos

A soma Sₙ das n primeiros termos da PG não constante (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q é dada por: 

Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

Produto dos n primeiros termos 

O produto Pₙ das n primeiros termos da PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q é dada por: 

Pₙ = (a₁)ⁿ * q^(n(n-1)/2)

Soma dos infinitos termos 

A soma Sₙ das n primeiros termos da PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q, com -1 < q < 1, é dada por: 

S = a₁ / (1 - q)

Importância do Reforço Escolar

Encerramos nossa jornada pelo tema 8 de Matemática para o ENEM, abordando as progressões aritmética e geométrica. Esses conceitos são pilares fundamentais da matemática e têm amplas aplicações em diversas áreas do conhecimento. Ao dominar essas sequências numéricas, os estudantes não apenas aprimoram suas habilidades matemáticas, mas também desenvolvem uma base sólida para resolver problemas do mundo real. O reforço escolar desempenha um papel crucial nesse processo, oferecendo suporte adicional, prática e orientação para consolidar o entendimento desses temas complexos. Portanto, não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada de aprendizado matemático.

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 7 - Função exponencial e função logarítmica

Neste artigo, exploraremos um tema crucial para o sucesso no ENEM e em diversos vestibulares: as funções exponenciais e logarítmicas. Esses conceitos têm aplicações em várias áreas da Matemática e são frequentemente abordados em questões desafiadoras. Compreender profundamente essas funções é essencial não apenas para resolver problemas matemáticos, mas também para desenvolver habilidades analíticas e críticas. Portanto, vamos mergulhar nesse assunto importante e entender como o reforço escolar pode nos ajudar a dominá-lo completamente.

A variação de inúmeras grandezas pode ser representada por uma sequência numérica em que o produto de um termo por uma taxa constante é o termo seguinte; por exemplo: crescimento populacional, decaimento radioativo e os montantes acumulados em uma aplicação financeira. Essas variações podem ser estudadas pela função exponencial. A inversa da função exponencial é a função logarítmica. 

A função exponencial 

Chama-se função exponencial toda função f: ℝ → ℝ, tal que: 

f(x) = aˣ, com a ∈ ℝ+* e a ≠ 1.

A função exponencial f(x) = aˣ é injetora, isto é, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência: 

aˣ¹ = aˣ² ⇔ x₁ = x₂ 

Note que essa função também é sobrejetora, pois para qualquer y, com y ∈ ℝ*, existe x, com x ∈ ℝ, tal que y = aˣ.

A função exponencial f(x) = aˣ, com a > 1, é crescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência: 

aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ > x₁  

A função exponencial f(x) = aˣ, com 0 < a < 1, é decrescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência: 

aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ < x₁

Equação exponencial

Equação exponencial é toda equação que apresenta a incógnita no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1. 

A resolução de uma equação exponencial baseia-se na equivalência: 

aˣ¹ = aˣ² ⇔ x₁ = x₂ 

Inequação exponencial

Inequação exponencial é toda inequação que apresenta a variável no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1. 

As resoluções de uma inequação exponencial baseiam-se nas equivalências: 

• Para a > 1: aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ > x₁ 
• Para 0 < a < 1: aˣ² > aˣ¹ ⇔ x₂ < x₁ 

Logaritmo 

Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bˣ = a. 

logb a = x ⇔  bˣ = a

Na sentença logb a = x: 

• a é o logaritmando; 
• b é a base do logaritmo; 
• x é o logaritmo de a na base b.

Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10. Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida).

Dado um número real a positivo, chama-se logaritmo natural do número a aquele cuja base é o número de Napier (e = 2,7182818285) Indicamos esse logaritmo natural simplesmente por ln a: 

ln a = loge a 

Também chamamos o logaritmo natural de logaritmo neperiano. 

Propriedades dos logaritmos 

Para quaisquer números reais positivos a, b e c, com b ≠ 1, temos: 

1. logb b = 1 (base e logaritmando iguais, resulta 1)
2. logb 1= 0  (logaritmando igual a 1, resulta 0)
3. logb bⁿ = n (logaritmando é uma potência, cuja base é igual a base do log, resulta no expoente da potência) 
4. logb (a*c) = logb a + logb c (multiplicação transforma em soma)
5. logb (a/c) = logb a - logb c (divisão transforma em subtração)
6. logb aⁿ = n * logb a (potência transforma em multiplicação)
7. b^(logb a) = a (uma potência cujo expoente é um log e a base da potência é igual a base da potência, resulta no logaritmando) 
8. logb a = logk a / logk b, com k ∈ ℝ+* e k ≠ 1 (mudança de base: escolha uma base nova de seu interesse e aplique a fórmula)

A função logarítmica 

Chama-se função logarítmica toda função ℝ+* → ℝ, tal que: 

f(x) = logb x, com b ∈ ℝ+* e b ≠ 1 

A função logarítmica f(x) = logb x é injetora, isto é, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência: 

logb x₁ = logb x₂ ⇔ x₁ = x₂

Note que essa função também é sobrejetora, pois para qualquer y, com y ∈ ℝ, existe x, com x ∈ ℝ+* tal que y = logb x.

A função logarítmica f(x) = logb x, com b > 1, é crescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência: 

logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ > x₁

A função logarítmica f(x) = logb x, com 0 < b <1, é decrescente. Isso significa que, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, temos a equivalência:  

logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ < x₁ 

A inversa da função logarítmica 

A inversa da função logarítmica f(x) = logb x é a função exponencial 

f⁻¹(x) = bˣ    

Note, em cada figura, que os gráficos de f e de f⁻¹ são simétricos em relação à reta y = x, bissetriz dos quadrantes ímpares. 

Equação logarítmica

Equação logarítmica é toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo. A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na equivalência: 

logb x₁ = logb x₂ ⇔ x₁ = x₂

Inequação logarítmica

Inequação logarítmica é toda inequação que apresenta a variável no logaritmando ou na base de um logaritmo. As resoluções de uma inequação logarítmica baseiam-se nas equivalências: 

• Para b > 1: logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ > x₁
• Para 0 < b < 1: logb x₂ > logb x₁ ⇔ x₂ < x₁ 

Importância do Reforço Escolar

Dominar as funções exponenciais e logarítmicas é fundamental para obter sucesso nas provas de Matemática do ENEM e de outros vestibulares. No entanto, para alcançar um entendimento completo desses conceitos e suas aplicações, é crucial investir em reforço escolar. Com a orientação de professores especializados e prática adicional, podemos fortalecer nossa compreensão e habilidades nessa área. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Ele desempenha um papel vital no desenvolvimento de competências matemáticas e na preparação para os desafios acadêmicos futuros.

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 6 - Função modular

Em pesquisas de opinião, é comum informar a margem de erro; por exemplo, dois pontos percentuais, para mais ou para menos. Essa informação pode ser associada ao conceito de módulo de um número real. 

No contexto da Matemática para o ENEM, exploraremos os fundamentos da função modular e suas aplicações. Contudo, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial reconhecer a importância do reforço escolar. Neste post, destacaremos como o suporte adicional pode fortalecer seu entendimento e garantir sucesso nas avaliações de Matemática.

Módulo de um número real 

Considere, na eixo real de origem O, um ponto P de abscissa x.

Chama-se módulo ou valor absoluto de x, que indicamos por |x|, a distância entre os pontos P e O. Para qualquer número real x, temos: 

|x| = x, se x ≥ 0 ou -x, se x < 0

A função modular

Seja f: ℝ → ℝ uma função que associa cada número real x ao seu módulo. Assim: 

f(x) = |x| ⇔ f(x) = x, se x ≥ 0 ou -x, se x < 0

Para esboçar o gráfico da função modular, estudamos cada uma das sentenças separadamente. A reunião dos gráficos obtidos é o gráfico da função modular. 

Esboço do gráfico por reflexão 

Outro recurso para a construção de gráficos de funções modulares é utilizar a ideia de reflexão. 

Seja uma função f representada pelo seu respectivo gráfico. Vamos construir o gráfico de g(x) = |f(x)| a partir do gráfico de f. 

Quando f(x) ≥ 0, o gráfico de g é o próprio gráfico de f. Quando f(x) < 0, o gráfico de g é o gráfico de f refletido em relação ao eixo Ox, ou seja, g(x) = -f(x). 

Esboço do gráfico por translação 

Para construir o gráfico de uma função do tipo f(x) = k + |g(x)|, em que k  0 é uma constante real e h(x) = |g(x)|, procedemos da seguinte maneira: 

• se k > 0, transladamos verticalmente para cima, em k unidades, o gráfico de h. 
• se k < 0, transladamos verticalmente para baixo, em k unidades, o gráfico de h. 

Para construir o gráfico de uma função do tipo f(x) =|g(x + k)|, em que k ≠ 0 é uma constante real e h(x) = |g(x)|, procedemos da seguinte maneira: 

• se k > 0, transladamos horizontalmente para a esquerda, em k unidades, o gráfico de h. 
• se k < 0, transladamos horizontalmente para a direita, em k unidades, o gráfico de h. 

Esboço do gráfico pelo estudo do sinal da função 

Para esboçar o gráfico de uma função do tipo f(x) = |g₁(x)| ± |g₂(x)| ± |g₃(x)| ± ... ± |gn(x)|, podemos eliminar os módulos por meio do estudo de sinal das funções g₁, g₂, g₃, ..., gn, obtendo, assim, uma função definida por mais de uma sentença. 

Propriedades do módulo 

Para quaisquer números reais x e y e para uma constante real positiva d, temos: 

• |x| ≥ 0
• |x| = d ⇔ x = ± d
• √x² = |x|
• |x/y| = |x| / |y|, com y ≠ 0
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |x| = |y| ⇔ x = ± y
• |x| ≤ d ⇔ -d ≤ x ≤ d
• |x| ≥ d ⇔ x ≤ -d ou x ≥ d
• |x * y| = |x| * |y|

Usando essas propriedades resolvemos equações e inequações modulares. 

Importância do Reforço Escolar

Dominar o tema da função modular é crucial para obter sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é fundamental investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para compreender profundamente os conceitos da função modular e aplicá-los com confiança. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 5 - Função quadrática

Diversos fenômenos na natureza podem ser modelados por uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. 

No tema de Função Quadrática para o ENEM, exploraremos esses conceitos fundamentais da Matemática. Contudo, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial reconhecer a importância do reforço escolar. Nesta postagem, destacaremos como o suporte adicional pode fortalecer seu entendimento e garantir sucesso nas avaliações de Matemática.

A função quadrática 

Função quadrática ou função polinomial do 2° grau é toda função do tipo: 

y = ax² + bx + c, em que {a, b, c} ⊂ ℝ e a ≠ 0

A função quadrática y = ax² + bx + c, cujas raízes são x' e x'', pode ser escrita na forma fatorada: 

y = a(x - x')(x - x'')

Gráfico da função quadrática 

O gráfico de toda função quadrática é uma parábola com eixo de simetria vertical. 

Concavidade da parábola 

• a > 0: concavidade voltada para cima
• a < 0: concavidade voltada  para baixo 

Intersecção com o eixo Ox 

Os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox, quando existirem, são os pontos cujas abscissas são as raízes da função. Para encontrá-los, basta atribuir o valor zero à variável y na equação y = ax² + bx + c. Assim: 

• Existem 2 pontos de intersecção ⇔ Δ > 0
• Existe 1 ponto de intersecção ⇔ Δ = 0
• Não existe ponto de intersecção ⇔ Δ < 0

Intersecção com o eixo Oy 

Para obter o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy, atribuímos o valor zero à variável x da função y = ax² + bx + c. Assim, o ponto de intersecção com o eixo Oy é (O, c). 

Vértice da parábola 

O vértice V da parábola de equação y = ax² + bx + c, é: 

V = (-b/2a, -Δ/4a)

A abscissa do vértice é a média aritmética entre as duas raízes da função, caso existam. 

O vértice V de uma função quadrática, f(x) = ax² + bx + c, é ponto mínimo ou ponto máximo. 

• Quando a > 0, V é ponto mínimo e a ordenada de V é o valor mínimo de f. 
• Quando a < 0, V é ponto máximo e a ordenada de V é o valor máximo de f. 

Estudo do sinal da função quadrática 

Sendo x' e x'' as raízes da  equação y = ax² + bx + c e x' < x'':

• a > 0
• Δ > 0
• x = x' ou x = x'' ⇒ y = 0
• x < x' ou x > x'' ⇒ y > 0
• x' < x < x'' ⇒ y < 0
• Δ = 0
• x = x' ou x = x'' ⇒ y = 0
• y > 0 para todo x ∈ ℝ - {x', x''}
• Δ < 0
• y > 0 para todo x ∈ ℝ
• a < 0
• Δ > 0
• x = x' ou x = x'' ⇒ y = 0
• x' < x < x'' ⇒ y > 0
• x < x' ou x > x'' ⇒ y < 0
• Δ = 0
• x = x' ou x = x'' ⇒ y = 0
• y < 0 para todo x ∈ ℝ - {x', x''}
• Δ < 0
• y < 0 para todo x ∈ ℝ

Importância do Reforço Escolar

Dominar o tema da Função Quadrática é crucial para obter sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é fundamental investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para compreender profundamente os conceitos da função quadrática e suas aplicações. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 4 - Função afim

Algumas funções relacionam duas grandezas em que a variação de uma é proporcional à variação da outra. Quando isso ocorre, dizemos que a função é afim. 

No tema de Função Afim para o ENEM, exploraremos esses conceitos fundamentais da Matemática. Contudo, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial reconhecer a importância do reforço escolar. Nesta postagem, destacaremos como o suporte adicional pode fortalecer seu entendimento e garantir sucesso nas avaliações de Matemática.

A função afim 

Função afim ou função polinomial do 1º grau é toda função do tipo: 

y = ax + b, em que {a, b} ⊂ ℝ  e a ≠ 0

O gráfico de toda função afim é uma reta. Para construí-lo, basta representar dois pontos distintos da função no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles. 

Pontos de intersecção do gráfico da função afim com os eixos coordenados 

O gráfico da função afim intercepta o eixo Ox no ponto (-b/a, 0). 

O gráfico da função afim intercepta o eixo Oy no ponto (0, b). 

Função linear 

Toda função da forma y = ax, com a ∈ ℝ*, é chamada função linear. 

O gráfico de uma função linear y = ax é uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas. 

Em toda função linear y = ax, os valores correspondentes das variáveis x e y são diretamente proporcionais. 

Análise da função afim

Taxa de variação

A taxa de variação da função afim y= ax + b é a constante a que multiplica x, obtida da seguinte maneira: 

a = Δy / Δx

Se duas funções afins têm a mesma taxa de variação, então as retas que as representam são paralelas. 

Crescimento e decrescimento 

Dada a função f(x) = ax + b, temos: 

• f é crescente ⇔ a > 0
• f é decrescente ⇔ a < 0

Estudo do sinal da função afim 

Encontrando a raiz x' da função, podemos discriminar os seguintes intervalos:

Quando a > 0 (crescente)

• x = x' ⇒ y = 0 
• x > x' ⇒ y > 0
• x < x' ⇒ y < 0

Quando a < 0 (decrescente)

• x = x' ⇒ y = 0 
• x > x' ⇒ y < 0
• x < x' ⇒ y > 0

Inequação-produto e Inequação-quociente 

Para resolver inequações-produto ou inequações-quo-ciente, estudamos o sinal de cada função e construímos um quadro de sinais, no qual os sinais da última linha são obtidos pela regra de sinais da multiplicação ou da divisão. 

Importância do Reforço Escolar

Dominar o tema da Função Afim é essencial para obter sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é fundamental investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para compreender profundamente os conceitos de função afim e aplicá-los com confiança. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 3 - Introdução ao estudo das funções

A importância do estudo de funções não é específica da Matemática, fazendo parte também do universo de outras ciências, como a Física e a Química. Quando lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação entre duas grandezas representada geometricamente. 

No tema de Introdução ao Estudo das Funções para o ENEM, exploraremos esses conceitos fundamentais da Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial reconhecer a importância do reforço escolar. Nesta postagem, destacaremos como o suporte adicional pode fortalecer seu entendimento e garantir sucesso nas avaliações de Matemática.

Sistema de coordenadas 

O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é formado por dois eixos, Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto O (origem). 

Para localizar um ponto P no plano, traçamos por P as perpendiculares a Ox e Oy, obtendo nos eixos as coordenadas de P, que são dois números chamados de abscissa e ordenada do ponto P, respectivamente. 

Se x é a abscissa de P e y é a ordenada de P, o par ordenado (x, y) representa P. Escrevemos P(x, y), primeiro a abscissa, depois a ordenada.

O conceito de função

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama-se relação de A em B qualquer conjunto de pares ordenados (x, y) com x ∈ A e y ∈ B. 

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, qualquer elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Para indicar que f é uma função de A em B, adotamos a notação: 

f: A → B 

Domínio, contradomínio e conjunto imagem 

Dada uma função f: A → B: 

O domínio da função é o conjunto D(f) = A.

O contradomínio da função é o conjunto CD(f) = B.

O conjunto imagem da função é o conjunto formado pelos elementos de B que têm correspondente em A, ou seja: 

Im(f) = {y ∈ B | (x, y) ∈ f}.

Imagem de x pela função f 

Se (x, y) pertence a uma função f, dizemos que y é a imagem de x pela função f. Indicamos esse fato por: y = f(x).

Gráfico de uma função 

O gráfico de uma função é a reunião de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano que pertencem à função. 

Raiz de uma função 

Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, y = f(x), todo número x' do domínio de f tal que f(x') = 0. 

Graficamente, a raiz de uma função é a abscissa do ponto em que o gráfico cruza o eixo Ox. 

Estudo do sinal de uma função 

Uma função f é positiva para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f(x) > 0.

Uma função f é negativa para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f(x) < 0.

Uma função f se anula para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f(x) = 0. Nesse caso, x é raiz da função. 

Variação de uma função

Uma função f é crescente em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para quaisquer números x₁ e x₂ de A, tivermos: 

x₂ > x₁ ⇔ f(x₂) > f(x₁)

Uma função f é decrescente em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para quaisquer números x₁ e x₂ de A, tivermos: 

x₂ > x₁ ⇔ f(x₂) < f(x₁)

Uma função fé constante em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para qualquer número x de A, tivermos: 

f(x) = k, sendo k uma constante real 

Função par e função ímpar 

Uma função f de domínio D é par se, e somente se: 

f(x) = f(-x), para qualquer x ∈ D 

Assim, as partes do gráfico de f para x ≥ 0 e para x ≤ 0 são simétricas em relação ao eixo Oy.

Uma função f de domínio D é ímpar se, e somente se: 

f(-x) = -f(x), para qualquer x ∈ D

Assim, as partes do gráfico de f para x ≥ 0 e para x ≤ 0 são simétricas em relação à origem O do sistema de eixos. 

Função injetora, sobrejetora e bijetora

Uma função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, for obedecida a condição: 

x₁ ≠ x₂ ⇔ f(x₁) ≠ f(x₂) 

Ou seja, f é injetora se não existirem elementos distintos do domínio de f com a mesma imagem.

Uma função f: A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, para todo elemento y do conjunto B existir x no conjunto A tal que f(x) = y. Ou seja, f é sobrejetora se o seu contradomínio coincidir com o seu conjunto imagem.

Uma função f: A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, f é injetora e sobrejetora simultaneamente.

Função composta 

Sejam A, B e C conjuntos não vazios e sejam as funções f: A → B e g: B → C. A função composta de g com f é a função f: A → C tal que: 

s(x) = g o f(x) = g(f(x))

Função inversa 

A inversa de uma função bijetora f: A → B é a função f⁻¹: B → A tal que: 

f(x) = y ⇔ f⁻¹(y) = x

para quaisquer x e y, com x ∈ A e y ∈ B.  

Se uma função admite inversa, dizemos que ela é invertível. 

Obtenção da função inversa 

Se uma função real de variável real y = f(x) é invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo: 

1. Trocamos x por y e y por x, obtendo x = f(y). 
2. Isolamos a variável y, após a mudança de variáveis efetuada em 1., obtendo y = f⁻¹(x). 

Importância do Reforço Escolar

Dominar o tema de Introdução ao Estudo das Funções é fundamental para obter sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é essencial investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para compreender profundamente as nuances das funções e aplicá-las com confiança. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 2 - Conjuntos

A teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da Matemática.

No tema de Conjuntos para o ENEM, exploraremos esse conceito fundamental que permeia diversas áreas matemáticas. Contudo, para uma compreensão completa e eficaz, é crucial reconhecer a importância do reforço escolar. Nesta postagem, destacaremos como o suporte adicional pode fortalecer seu entendimento e garantir sucesso nas avaliações de Matemática. 

Representação de um conjunto 

Na representação tabular, os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula ou por ponto e vírgula. 

A= {0, 2, 14, 6}

Na representação por um diagrama de Venn os elementos são simbolizados por pontos interiores a uma região plana, delimitada por uma linha fechada que não se entrelaça. 

Os elementos de um conjunto também podem ser descritos por meio de uma propriedade que os determina. 

A = {x | x é um número par menor que 8} 

Alguns conjuntos fundamentais

Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.

Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum. Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou { }.

Um conjunto é finito se for vazio ou se, ao contar seus elementos um a um, chega-se ao fim da contagem.

Conjunto infinito é todo conjunto que não é finito.

Conjunto universo de um estudo, representado por U, é aquele ao qual pertencem todos os elementos relacionados a esse estudo. 

Conceitos fundamentais 

Subconjunto 

Um conjunto B é subconjunto de um conjunto A se todos os elementos de B também são elementos de A. Indicamos esse fato por: B ⊂ A (lemos: B está contido em A). 

Conjunto das partes 

O conjunto das partes de um conjunto A, que indicamos por ℘(A), é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.

Se um conjunto A possui n elementos, então ℘(A) possui 2ⁿ elementos.

Igualdade de conjuntos 

Dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. 

Operações com conjuntos

A união de dois conjuntos A e B, que indicamos por A ∪ B, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A ou a B. 

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 

A intersecção de dois conjuntos A e B, que indicamos por A ∩ B, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a B. 

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 

A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, que indicamos por A - B, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B. 

A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}  

Sendo A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B, o complementar de A em relação a B, que indicamos por C(A,B) é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a B e não pertencem a A, ou seja, é o conjunto B - A. 

C(A, B) = B - A = {x | x ∈ B e x ∉ A}  

Classificação dos números 

Conjunto dos números naturais 

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} 

Conjunto dos números inteiros 

ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 

Conjunto dos números racionais 

Número racional é todo aquele que pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros, sendo o segundo não nulo. 

ℚ = {a/b | a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*} (o * significa que 0 está fora do conjunto)

Conjunto dos números irracionais 

Número irracional é todo número que, em sua forma decimal, é uma dízima não periódica, assim: 

ℚ' = {x | x é dízima não periódica} 

Conjunto dos números reais 

Qualquer número racional ou irracional é chamado número real. 

ℝ = {x | x é número racional ou irracional}

Relação de inclusão entre os conjuntos numéricos 

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

ℝ = ℚ ∪ ℚ'

Intervalos reais 

• Intervalo fechado em a e fechado em b: [a, b] 
• {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
• Intervalo fechado em a e aberto em b: [a, b[ ou [a, b) 
• {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
• Intervalo aberto em a e fechado em b: ]a, b] ou (a, b]  
• {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
• Intervalo aberto em a e aberto em b: ]a, b[ ou (a, b) 
• {x ∈ ℝ | a < x < b}

Importância do Reforço Escolar

Dominar o tema de Conjuntos é essencial para obter sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é fundamental investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para enfrentar qualquer desafio matemático com confiança e alcançar excelentes resultados acadêmicos. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem: Tema 1 - Conceitos fundamentais da Álgebra

Neste tema, faremos um estudo de conceitos fundamentais da Álgebra. 

Dominar esses conceitos é crucial para obter sucesso nas provas do ENEM e em outros exames de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é essencial investir em reforço escolar. Vamos explorar a importância desse suporte adicional e como ele pode impulsionar seu desempenho acadêmico.

Potenciação e radiciação

Potência de expoente inteiro

Sendo b um número real e n um número inteiro, definimos:

• b⁰ = 1, se b ≠ 0
• b¹ = b
• bⁿ = b * b * b * ... * b, se n > 1
• b⁻ⁿ = 1 / bⁿ se b ≠ 0

Na potência bⁿ, o número b é chamado de base da potência e o número n é chamado de expoente.

Propriedades

Dados os números reais b e c e os números inteiros a e n, obedecidas as condições para que existam as potências, temos:

1. bª * bⁿ = bª⁺ⁿ (a multiplicação vira soma)
2. bª : bⁿ = bª⁻ⁿ (a divisão vira subtração)
3. (bª)ⁿ = bª*ⁿ  (a potenciação vira multiplicação)
4. (b * c)ⁿ  = bª * cⁿ (chuveirinho do expoente sobre um produto)
5. (b/c)ⁿ = bⁿ / cⁿ (chuveirinho do expoente sobre uma fração)

Um número real não nulo está representado em notação científica se está na forma k*10ⁿ, em que n é um número inteiro e k é um número real tal que 1 ≤ |k| < 10 (|k| significa valor absoluto de k, ou seja, k se k ≥ 0 ou -k se k<0).

Radiciação em ℝ

Seja ⁿ√a, leia como raiz n-ésima de a.

No radical n de ⁿ√a, o número n é chamado de índice do radical e número a é chamado de radicando.

Sendo n um número natural ≠ 0 e par, a um número real positivo, b também um número real positivo, definimos:

ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a

Quando o índice é 2, não escrevemos este índice, ficando apenas √a.

Sendo n um número natural e ímpar, a um número real negativo e ≠ 0, definimos:

ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a

Sendo a um número real qualquer e n um número natural ímpar, temos a propriedade:

ⁿ√(-a) = -(ⁿ√a)

Sendo n, k e p números naturais positivos, a e b números reais positivos, valem as seguintes propriedades:

1. ⁿ√(a*b) = ⁿ√a * ⁿ√b (raíz da multiplicação quebra em duas)
2. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b com b ≠ 0 (raiz da fração (divisão) quebra em duas)
3. ⁿ*ª√(bª*ⁿ) = ⁿ√(bⁿ) (se o índice e o expoente do radicando forem simplificáveis, pode simplificar)
4. (ⁿ√b)ª = ⁿ√(bª) (potência de uma raiz é a raiz da potência)
5. ⁿ√(ª√b) = ⁿ*ª√b (na raiz da raiz de número, pode multiplicar os índices)

Potência de expoente racional

Sendo n e k números inteiros, com n ≥ 1, e a um número real positivo, definimos:

bª/ⁿ = ⁿ√(bª) (quem está por dentro fica por cima, quem está por fora fica por baixo)

As propriedades das potências para expoente inteiro continuam válidas para expoentes racionais.

Fatoração

Fatorar um polinômio significa representá-lo na forma de uma multiplicação de fatores. Os principais casos de fatoração são:

Fator comum: ax +bx = x(a+b)

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x+ y)

Diferença de quadrados: a² - b² = (a + b)(a - b)

Quadrado perfeito:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

Cubo perfeito:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

Soma e diferença de cubos:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Razão e proporção

Seja a, b, c, d números reais ≠ 0 e consideremos que as razões a/b e c/d sejam iguais. Assim, a igualdade 

a/b = c/d 

é uma proporção.

Na proporção a/b = c/d, b e c são chamados de meios, a e d são chamados de extremos.

Na proporção a/b = c/d o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:

a/b = c/d ⇒ a * d = b * c

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Dadas as sucessões de números reais (a, b, c, ...) e (x, y, z, ...), dizemos que os elementos de uma são diretamente proporcionais (ou apenas proporcionais) aos elementos correspondentes da outra se:

a/x = b/y = c/z = ... = k

Dadas as sucessões de números reais (a, b, c, ...) e (x, y, z, ...), dizemos que os elementos de uma são inversamente proporcionais aos elementos correspondentes da outra se:

a/(1/x) = b/(1/y) = c/(1/z) = ... = k ⇔

a * x = b * y = c * z = ... = k

Em ambos, k é chamado de constante de proporcionalidade.

Porcentagem

As frações com denominadores 100 são chamadas frações centesimais e podem ser representadas pela porcentagem (%) do seguinte modo:

x/100 = x%, em que x é um número real

Médias

A média aritmética dos n números x₁, x₂, x₃, ..., xₙ, representada por x̅, é dada por:

x̅ = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + xₙ) / n

A média aritmética ponderada dos n números x₁, x₂, x₃, ..., xₙ, com pesos p₁, p₂, p₃, ..., pₙ, respectivamente, é dada por:

x̅ = (p₁ * x₁ + p₂ * x₂ + p₃ * x₃ + ... + pₙ * xₙ) / (p₁+ p₂ + p₃ + ... + pₙ)

Divisão e divisibilidade em ℤ

Algoritmo da divisão em ℤ

Dados os números inteiros a e b, com b ≠ 0, existe uma única maneira de expressar a em função de b na forma 

a = b * q + r

com q  e r inteiros e 0 ≤ r < |b|.

Os números q e r são chamados, respectivamente, de quociente e resto da divisão de a por b. Quando r = 0, dizemos que divisão é exata e que a é divisível por b.

Múltiplos e divisores em Z

Dados os números inteiros a e b, se, na divisão de a por b, o resto é zero, ou seja, se existe um inteiro k tal que a = k*b, dizemos que a é múltiplo de b. Também dizemos que b é divisor de a.

Um número inteiro n é primo se, e somente se, possui exatamente quatro divisores distintos, que são:

1, -1, n, e -n

Os números inteiros não nulos que possuem mais de quatro divisores são chamados de números compostos.

Teorema Fundamental da Aritmética

Todo número inteiro composto c pode ser expresso na forma:

c = ± p₁ * p₂ * p₃ * ... * pₙ

em que p₁, p₂, p₃, ..., pₙ são números primos positivos.

Mmc e mdc

O máximo divisor comum (mdc) entre os números inteiros a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, não todos nulos, que indicamos por mdc(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ), é o maior divisor que esses números têm em comum.

O mínimo múltiplo comum (mmc) entre os números inteiros

não nulos a₁, a₂, a₃, ..., aₙ que indicamos por mmc(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ), é o menor múltiplo positivo que esses números têm em comum.

Se pelo menos um dos números inteiros a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, é igual a zero, definimos: mmc(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ) = 0

Dois ou mais números inteiros são primos entre si se, e somente se, o mdc entre eles é = 1.

Número par e número ímpar

Um número inteiro a é par se, e somente se, existe um número k inteiro tal que

a = 2*k

Um número inteiro a é ímpar se, e somente se, existe um número k inteiro tal que

a = 2*k + 1

Equações do 1º grau

Uma equação na variável x é do 1º grau se pode ser representada como:

a*x + b = 0

com a e b números reais e a ≠ 0.

Resolver essa equação em um universo U significa determinar o número α do universo U, tal que a * α + b = 0.

Dizemos que o número α é raiz da equação ou que α é solução da equação ou, ainda, que α satisfaz a equação.

O conjunto S = {α} é o conjunto solução da equação.

Resolução de uma equação do 1º grau

Para resolver uma equação de 1º grau ax + b = 0, isolamos a variável x, usando uma ou mais das seguintes propriedades da igualdade de números reais:

1. Propriedade reflexiva: a = a
2. Propriedade simétrica: a = b ⇒ b = a
3. Propriedade transitiva: a = b, b = c ⇒ a = c
4. Propriedade aditiva: a = b ⇔ a + c = b + c
5. Propriedade multiplicativa: a = b ⇔ a * c = b * c, para c ≠ 0
6. Teorema fundamental da Álgebra: a * b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0

Equações do 2º grau

Uma equação na variável x é do 2º grau se pode ser representada como:

a*x² + b*x + c = 0

Com a, b e c números reais e a ≠ 0.

Resolução de uma equação do 2º grau

Para resolver uma equação do 2º grau, empregamos a seguinte fórmula:

x = (-b ± √Δ) / 2*a

em que Δ = b² - 4*a*c.

Δ é chamado de discriminante da equação do 2º grau:

• Quando Δ > 0, a equação possui duas raízes reais distintas;
• Quando Δ = 0, a equação possui duas raízes reais iguais;
• Quando Δ < 0, a equação não possui raízes reais (veja o Tema 22 para mais sobre esse caso).

Soma e produto das raízes (relações de Girard)

Sendo x' e x'' as raízes de uma equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, temos:

x' + x'' = -b/a

x' * x'' = c/a

Fatoração do trinômio do 2º grau

Se x' e x'' são raízes da equação do 2º grau ax^2 + bx + c = 0, podemos escrever:

ax² + bx + c = a(x - x')(x - x'')

Inequação do 1º grau

Sejam a e b números reais, com a ≠ 0. Inequações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas na forma:

• ax + b > 0 (maior que)
• ax + b ≥ 0 (maior ou igual que)
• ax + b < 0 (menor que)
• ax + b ≤ 0 (menor ou igual que)
• ax + b ≠ 0 (diferente de)

Resolução de uma inequação do 1º grau

As inequações com as relações >, ≥, <, ≤ são resolvidas aplicando-se uma ou mais das seguintes propriedades:

1. Vale a propriedade transitiva para as quatro desigualdades: 
• a < b, b < c ⇒ a < c
2. Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número de ambos os membros de uma desigualdade, o sentido da desigualdade se mantém:
• a < b ⇒ a + c < b + c
3. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, o sentido da desigualdade se mantém:
• a < b ⇒ a * c < b * c, com c > 0
4. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade fica invertido (> inverte para < e ≥ inverte para ≤):
• a < b ⇒ a * c > b * c, com c > 0

As inequações com a relação ≠ são resolvidas da mesma maneira que uma equação do 1º grau.

Equações Irracionais

Equações que representam a incógnita sob um radical são chamadas de equações irracionais.

Resolução de equações irracionais

A resolução desse tipo de equação fundamenta-se nas propriedades:

1. a = b ⇒ aⁿ = bⁿ, para a, b, n números reais, desde que existam as potências aⁿ e bⁿ.
2. (ⁿ√a)ⁿ = a, com a real positivo e n natural ≠ 0.

Teorema fundamental da Álgebra na resolução de equações

O produto de dois ou mais números reais é igual a zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for igual a zero.

Esta propriedade é útil na resolução de equações que podem ser representadas na forma de uma expressão fatorada igualada a zero, como por exemplo:

ax² + bx  = 0 (c = 0)

Isolando o fator comum x, temos:

x(x + b) = 0

Logo x = 0 (o primeiro fator) ou x + b = 0  ⇒ x = -b (o segundo fator).

Importância do Reforço Escolar

Dominar os conceitos fundamentais da Álgebra é essencial para o sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para enfrentar qualquer desafio matemático com confiança e alcançar excelentes resultados acadêmicos. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!

Entre no Canal do WhatsApp de Dicas de Matemática para o Enem!

Matemática para Enem - Sumário

Tema 1 - Conceitos fundamentais da Álgebra

Tema 2 - Conjuntos

Tema 3 - Introdução ao estudo das funções

Tema 4 - Função afim

Tema 5 - Função quadrática

Tema 6 - Função modular

Tema 7 - Função exponencial e função logarítmica

Tema 8 - Progressão aritmética e progressão geométrica

Tema 9 - Matemática financeira e Estatística

Tema 10 - Geometria plana

Tema 11 - Trigonometria no triângulo retângulo e na circunferência trigonométrica

Tema 12 - Razões trigonométricas inversas, adição de arcos e resolução de triângulos

Tema 13 - Funções trigonométricas

Tema 14 - Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Tema 15 - Análise combinatória e Binômio de Newton

Tema 16 - Probabilidade

Tema 17 - Geometria de posição

Tema 18 - Geometria espacial: poliedros

Tema 19 - Geometria espacial: corpos redondos

Tema 20 - Geometria analítica: ponto e reta

Tema 21 - Geometria analítica: cônicas

Tema 22 - Conjunto dos números complexos

Tema 23 - Polinômios e equações polinomiais

Tema 24 - Raciocínio lógico e argumento