Bem-vindo ao nosso guia dedicado ao tema "Progressão aritmética e progressão geométrica". Nesta exploração, mergulharemos nas propriedades e aplicações dessas importantes sequências numéricas. A progressão aritmética, com sua razão constante, e a progressão geométrica, com seus múltiplos constantes, desempenham papéis fundamentais em diversas áreas, desde finanças até ciências naturais. Compreender esses conceitos não apenas é essencial para resolver problemas de matemática, mas também para desenvolver habilidades analíticas importantes. Portanto, vamos explorar profundamente essas progressões e destacar a importância do reforço escolar para um aprendizado completo.
Qualquer conjunto cujos elementos obedecem a uma ordem é uma sequência. No cotidiano, encontramos várias sequências: a lista de chamada de uma turma, as palavras em um dicionário, a classificação dos alunos aprovados no vestibular etc.
O conceito de sequência
Sequência finita é toda função de domínio A = {1, 2, 3, ..., n} com A ⊂ ℕ* e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não vazio.
Sequência infinita é toda função de domínio ℕ* = {1, 2, 3, ...} e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não vazio.
Cada elemento de uma sequência é também chamado de termo da sequência. O termo que ocupa a posição de número n é indicado pelo símbolo aₙ.
Em uma sequência finita (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ), os termos a₁ e aₙ, são os extremos da sequência.
Dois termos, aᵢ, e aⱼ são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que precedem aᵢ, é igual à quantidade de termos que sucedem aⱼ.
Um termo aₘ, é chamado de termo médio de uma sequência com número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que antecedem aₘ, é igual à quantidade de termos que o sucedem.
Lei de formação da sequência é um conjunto de informações que determina todos os termos de uma sequência e a ordem em que são apresentados.
Progressão aritmética (PA)
PA é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética.
(a₁, a₂ = a₁+r, a₃ = a₂+r, ..., aₙ = aₙ₋₁+r)
Classificação
- Crescente
- Cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior:
- r > 0
- Decrescente
- Cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior:
- r < 0
- Constante
- Todos os termos são iguais:
- r = 0
Representação genérica
Dados x e r números reais, podemos usar as seguintes representações:
- PA de 3 termos
- Razão = r: (x, x + r, x + 2r)
- Razão = r: (x - r, x, x + r)
- PA de 4 termos
- Razão = r: (x, x + r, x + 2r, x + 3r)
- Razão = 2r: (x - 3r, x - r, x, x + 3r)
Fórmula do termo geral
Numa PA (a₁, a₂, a₃, ... aₙ) de razão r, temos:
aₙ = a₁ + (n - 1) * r
De maneira geral, temos:
aₙ = aₖ + (n - k) * r
Representação gráfica
A representação gráfica da PA (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) é formada pelos pontos (n, aₙ) do plano cartesiano. Esses pontos pertencem à reta de equação y = a₁ + (n - 1) * r.
Propriedades
Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes das extremos é igual à soma dos extremos.
a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = ... = aₖ₊₁ + aₙ₋ₖ
Uma sequência de três termos é uma PA se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre os outros dois:
(a, b, c) é PA ⇔ b = (a + c) / 2
Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética entre os extremos.
Soma dos n primeiros termos
A soma Sₙ das n primeiros termos da PA (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) é dada por:
Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2
Progressão geométrica (PG)
PG é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior com uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.
(a₁, a₂ = a₁*r, a₃ = a₂*r, ..., aₙ = aₙ₋₁*r)
Classificação
- Crescente
- Cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior:
- a₁ > 0 e q >1 ou a₁ < 0 e 0 < q < 1
- Decrescente
- Cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior:
- a₁ > 0 e 0 < q <1 ou a₁ < 0 e q > 1
- Constante
- Todos os termos são iguais:
- q = 1 ou aₙ = 0, para todo n
- Oscilante
- Todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos:
- a₁ ≠ 0 e q < 0
- Quase nula
- O primeiro termo é diferente de zero e os demais são iguais a zero:
- a₁ ≠ 0 e q = 0
Representação genérica
Dados x e q números reais, podemos usar as seguintes representações:
- PG de 3 termos
- Razão = q: (x, xq, xq²)
- Razão = q, com q ≠ 0: (x/q, x, xq)
- PG de 4 termos
- Razão = q: (x, xq, xq², xq³)
- Razão = q², com q ≠ 0: (x/q³, x/q, x, xq³)
Fórmula do termo geral
Numa PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q, temos:
aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹
De maneira geral, temos:
aₙ = aₖ * qⁿ⁻ᵏ
Representação gráfica
A representação gráfica da PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) é formada pelos pontos (n, aₙ) do plano cartesiano tais que:
se q > 0 e q ≠ 1, essa representação gráfica é formada por pontos do gráfico da função exponencial y = /q * qˣ.
se q < 0 ou q = 1, essa representação gráfica é formada por pontos que não pertencem ao gráfico de uma função exponencial.
Propriedades
Em toda PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
a₁ * aₙ = a₂ * aₙ₋₁ = ... = aₖ₊₁ * aₙ₋ₖ
Uma sequência de três termos, em que o primeiro é diferente de zero, é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Assim, sendo a ≠ 0:
(a, b, c) é PG ⇔ b² = a * c
Em uma PG com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.
Soma dos n primeiros termos
A soma Sₙ das n primeiros termos da PG não constante (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q é dada por:
Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
Produto dos n primeiros termos
O produto Pₙ das n primeiros termos da PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q é dada por:
Pₙ = (a₁)ⁿ * q^(n(n-1)/2)
Soma dos infinitos termos
A soma Sₙ das n primeiros termos da PG (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) de razão q, com -1 < q < 1, é dada por:
S = a₁ / (1 - q)
Importância do Reforço Escolar
Encerramos nossa jornada pelo tema 8 de Matemática para o ENEM, abordando as progressões aritmética e geométrica. Esses conceitos são pilares fundamentais da matemática e têm amplas aplicações em diversas áreas do conhecimento. Ao dominar essas sequências numéricas, os estudantes não apenas aprimoram suas habilidades matemáticas, mas também desenvolvem uma base sólida para resolver problemas do mundo real. O reforço escolar desempenha um papel crucial nesse processo, oferecendo suporte adicional, prática e orientação para consolidar o entendimento desses temas complexos. Portanto, não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada de aprendizado matemático.
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