A importância do estudo de funções não é específica da Matemática, fazendo parte também do universo de outras ciências, como a Física e a Química. Quando lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação entre duas grandezas representada geometricamente.
No tema de Introdução ao Estudo das Funções para o ENEM, exploraremos esses conceitos fundamentais da Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial reconhecer a importância do reforço escolar. Nesta postagem, destacaremos como o suporte adicional pode fortalecer seu entendimento e garantir sucesso nas avaliações de Matemática.
Sistema de coordenadas
O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é formado por dois eixos, Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto O (origem).
Para localizar um ponto P no plano, traçamos por P as perpendiculares a Ox e Oy, obtendo nos eixos as coordenadas de P, que são dois números chamados de abscissa e ordenada do ponto P, respectivamente.
Se x é a abscissa de P e y é a ordenada de P, o par ordenado (x, y) representa P. Escrevemos P(x, y), primeiro a abscissa, depois a ordenada.
O conceito de função
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama-se relação de A em B qualquer conjunto de pares ordenados (x, y) com x ∈ A e y ∈ B.
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, qualquer elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Para indicar que f é uma função de A em B, adotamos a notação:
f: A → B
Domínio, contradomínio e conjunto imagem
Dada uma função f: A → B:
O domínio da função é o conjunto D(f) = A.
O contradomínio da função é o conjunto CD(f) = B.
O conjunto imagem da função é o conjunto formado pelos elementos de B que têm correspondente em A, ou seja:
Im(f) = {y ∈ B | (x, y) ∈ f}.
Imagem de x pela função f
Se (x, y) pertence a uma função f, dizemos que y é a imagem de x pela função f. Indicamos esse fato por: y = f(x).
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é a reunião de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano que pertencem à função.
Raiz de uma função
Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, y = f(x), todo número x' do domínio de f tal que f(x') = 0.
Graficamente, a raiz de uma função é a abscissa do ponto em que o gráfico cruza o eixo Ox.
Estudo do sinal de uma função
Uma função f é positiva para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f(x) > 0.
Uma função f é negativa para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f(x) < 0.
Uma função f se anula para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f(x) = 0. Nesse caso, x é raiz da função.
Variação de uma função
Uma função f é crescente em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para quaisquer números x₁ e x₂ de A, tivermos:
x₂ > x₁ ⇔ f(x₂) > f(x₁)
Uma função f é decrescente em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para quaisquer números x₁ e x₂ de A, tivermos:
x₂ > x₁ ⇔ f(x₂) < f(x₁)
Uma função fé constante em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para qualquer número x de A, tivermos:
f(x) = k, sendo k uma constante real
Função par e função ímpar
Uma função f de domínio D é par se, e somente se:
f(x) = f(-x), para qualquer x ∈ D
Assim, as partes do gráfico de f para x ≥ 0 e para x ≤ 0 são simétricas em relação ao eixo Oy.
Uma função f de domínio D é ímpar se, e somente se:
f(-x) = -f(x), para qualquer x ∈ D
Assim, as partes do gráfico de f para x ≥ 0 e para x ≤ 0 são simétricas em relação à origem O do sistema de eixos.
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Uma função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, para quaisquer x₁ e x₂ do domínio de f, for obedecida a condição:
x₁ ≠ x₂ ⇔ f(x₁) ≠ f(x₂)
Ou seja, f é injetora se não existirem elementos distintos do domínio de f com a mesma imagem.
Uma função f: A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, para todo elemento y do conjunto B existir x no conjunto A tal que f(x) = y. Ou seja, f é sobrejetora se o seu contradomínio coincidir com o seu conjunto imagem.
Uma função f: A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, f é injetora e sobrejetora simultaneamente.
Função composta
Sejam A, B e C conjuntos não vazios e sejam as funções f: A → B e g: B → C. A função composta de g com f é a função f: A → C tal que:
s(x) = g o f(x) = g(f(x))
Função inversa
A inversa de uma função bijetora f: A → B é a função f⁻¹: B → A tal que:
f(x) = y ⇔ f⁻¹(y) = x
para quaisquer x e y, com x ∈ A e y ∈ B.
Se uma função admite inversa, dizemos que ela é invertível.
Obtenção da função inversa
Se uma função real de variável real y = f(x) é invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo:
- Trocamos x por y e y por x, obtendo x = f(y).
- Isolamos a variável y, após a mudança de variáveis efetuada em 1., obtendo y = f⁻¹(x).
Importância do Reforço Escolar
Dominar o tema de Introdução ao Estudo das Funções é fundamental para obter sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é essencial investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para compreender profundamente as nuances das funções e aplicá-las com confiança. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!
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