Dominar esses conceitos é crucial para obter sucesso nas provas do ENEM e em outros exames de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é essencial investir em reforço escolar. Vamos explorar a importância desse suporte adicional e como ele pode impulsionar seu desempenho acadêmico.
Potenciação e radiciação
Potência de expoente inteiro
- b⁰ = 1, se b ≠ 0
- b¹ = b
- bⁿ = b * b * b * ... * b, se n > 1
- b⁻ⁿ = 1 / bⁿ se b ≠ 0
Na potência bⁿ, o número b é chamado de base da potência e o número n é chamado de expoente.
Propriedades
Dados os números reais b e c e os números inteiros a e n, obedecidas as condições para que existam as potências, temos:
- bª * bⁿ = bª⁺ⁿ (a multiplicação vira soma)
- bª : bⁿ = bª⁻ⁿ (a divisão vira subtração)
- (bª)ⁿ = bª*ⁿ (a potenciação vira multiplicação)
- (b * c)ⁿ = bª * cⁿ (chuveirinho do expoente sobre um produto)
- (b/c)ⁿ = bⁿ / cⁿ (chuveirinho do expoente sobre uma fração)
Um número real não nulo está representado em notação científica se está na forma k*10ⁿ, em que n é um número inteiro e k é um número real tal que 1 ≤ |k| < 10 (|k| significa valor absoluto de k, ou seja, k se k ≥ 0 ou -k se k<0).
Radiciação em ℝ
No radical n de ⁿ√a, o número n é chamado de índice do radical e número a é chamado de radicando.
Sendo n um número natural ≠ 0 e par, a um número real positivo, b também um número real positivo, definimos:
ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a
Quando o índice é 2, não escrevemos este índice, ficando apenas √a.
Sendo n um número natural e ímpar, a um número real negativo e ≠ 0, definimos:
ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a
Sendo a um número real qualquer e n um número natural ímpar, temos a propriedade:
ⁿ√(-a) = -(ⁿ√a)
Sendo n, k e p números naturais positivos, a e b números reais positivos, valem as seguintes propriedades:
- ⁿ√(a*b) = ⁿ√a * ⁿ√b (raíz da multiplicação quebra em duas)
- ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b com b ≠ 0 (raiz da fração (divisão) quebra em duas)
- ⁿ*ª√(bª*ⁿ) = ⁿ√(bⁿ) (se o índice e o expoente do radicando forem simplificáveis, pode simplificar)
- (ⁿ√b)ª = ⁿ√(bª) (potência de uma raiz é a raiz da potência)
- ⁿ√(ª√b) = ⁿ*ª√b (na raiz da raiz de número, pode multiplicar os índices)
Potência de expoente racional
Sendo n e k números inteiros, com n ≥ 1, e a um número real positivo, definimos:
bª/ⁿ = ⁿ√(bª) (quem está por dentro fica por cima, quem está por fora fica por baixo)
As propriedades das potências para expoente inteiro continuam válidas para expoentes racionais.
Fatoração
Fatorar um polinômio significa representá-lo na forma de uma multiplicação de fatores. Os principais casos de fatoração são:
Fator comum: ax +bx = x(a+b)
Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x+ y)
Diferença de quadrados: a² - b² = (a + b)(a - b)
Quadrado perfeito:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
Cubo perfeito:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
Soma e diferença de cubos:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Razão e proporção
Seja a, b, c, d números reais ≠ 0 e consideremos que as razões a/b e c/d sejam iguais. Assim, a igualdade
a/b = c/d
é uma proporção.
Na proporção a/b = c/d, b e c são chamados de meios, a e d são chamados de extremos.
Na proporção a/b = c/d o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:
a/b = c/d ⇒ a * d = b * c
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Dadas as sucessões de números reais (a, b, c, ...) e (x, y, z, ...), dizemos que os elementos de uma são diretamente proporcionais (ou apenas proporcionais) aos elementos correspondentes da outra se:
a/x = b/y = c/z = ... = k
Dadas as sucessões de números reais (a, b, c, ...) e (x, y, z, ...), dizemos que os elementos de uma são inversamente proporcionais aos elementos correspondentes da outra se:
a/(1/x) = b/(1/y) = c/(1/z) = ... = k ⇔
a * x = b * y = c * z = ... = k
Em ambos, k é chamado de constante de proporcionalidade.
Porcentagem
As frações com denominadores 100 são chamadas frações centesimais e podem ser representadas pela porcentagem (%) do seguinte modo:
x/100 = x%, em que x é um número real
Médias
A média aritmética dos n números x₁, x₂, x₃, ..., xₙ, representada por x̅, é dada por:
x̅ = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + xₙ) / n
A média aritmética ponderada dos n números x₁, x₂, x₃, ..., xₙ, com pesos p₁, p₂, p₃, ..., pₙ, respectivamente, é dada por:
x̅ = (p₁ * x₁ + p₂ * x₂ + p₃ * x₃ + ... + pₙ * xₙ) / (p₁+ p₂ + p₃ + ... + pₙ)
Divisão e divisibilidade em ℤ
Algoritmo da divisão em ℤ
Dados os números inteiros a e b, com b ≠ 0, existe uma única maneira de expressar a em função de b na forma
a = b * q + r
com q e r inteiros e 0 ≤ r < |b|.
Os números q e r são chamados, respectivamente, de quociente e resto da divisão de a por b. Quando r = 0, dizemos que divisão é exata e que a é divisível por b.
Múltiplos e divisores em Z
Dados os números inteiros a e b, se, na divisão de a por b, o resto é zero, ou seja, se existe um inteiro k tal que a = k*b, dizemos que a é múltiplo de b. Também dizemos que b é divisor de a.
Um número inteiro n é primo se, e somente se, possui exatamente quatro divisores distintos, que são:
1, -1, n, e -n
Os números inteiros não nulos que possuem mais de quatro divisores são chamados de números compostos.
Teorema Fundamental da Aritmética
Todo número inteiro composto c pode ser expresso na forma:
c = ± p₁ * p₂ * p₃ * ... * pₙ
em que p₁, p₂, p₃, ..., pₙ são números primos positivos.
Mmc e mdc
O máximo divisor comum (mdc) entre os números inteiros a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, não todos nulos, que indicamos por mdc(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ), é o maior divisor que esses números têm em comum.
O mínimo múltiplo comum (mmc) entre os números inteiros
não nulos a₁, a₂, a₃, ..., aₙ que indicamos por mmc(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ), é o menor múltiplo positivo que esses números têm em comum.
Se pelo menos um dos números inteiros a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, é igual a zero, definimos: mmc(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ) = 0
Dois ou mais números inteiros são primos entre si se, e somente se, o mdc entre eles é = 1.
Número par e número ímpar
Um número inteiro a é par se, e somente se, existe um número k inteiro tal que
a = 2*k
Um número inteiro a é ímpar se, e somente se, existe um número k inteiro tal que
a = 2*k + 1
Equações do 1º grau
Uma equação na variável x é do 1º grau se pode ser representada como:
a*x + b = 0
com a e b números reais e a ≠ 0.
Resolver essa equação em um universo U significa determinar o número α do universo U, tal que a * α + b = 0.
Dizemos que o número α é raiz da equação ou que α é solução da equação ou, ainda, que α satisfaz a equação.
O conjunto S = {α} é o conjunto solução da equação.
Resolução de uma equação do 1º grau
Para resolver uma equação de 1º grau ax + b = 0, isolamos a variável x, usando uma ou mais das seguintes propriedades da igualdade de números reais:
- Propriedade reflexiva: a = a
- Propriedade simétrica: a = b ⇒ b = a
- Propriedade transitiva: a = b, b = c ⇒ a = c
- Propriedade aditiva: a = b ⇔ a + c = b + c
- Propriedade multiplicativa: a = b ⇔ a * c = b * c, para c ≠ 0
- Teorema fundamental da Álgebra: a * b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
Equações do 2º grau
Uma equação na variável x é do 2º grau se pode ser representada como:
a*x² + b*x + c = 0
Com a, b e c números reais e a ≠ 0.
Resolução de uma equação do 2º grau
Para resolver uma equação do 2º grau, empregamos a seguinte fórmula:
x = (-b ± √Δ) / 2*a
em que Δ = b² - 4*a*c.
Δ é chamado de discriminante da equação do 2º grau:
- Quando Δ > 0, a equação possui duas raízes reais distintas;
- Quando Δ = 0, a equação possui duas raízes reais iguais;
- Quando Δ < 0, a equação não possui raízes reais (veja o Tema 22 para mais sobre esse caso).
Soma e produto das raízes (relações de Girard)
Sendo x' e x'' as raízes de uma equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, temos:
x' + x'' = -b/a
x' * x'' = c/a
Fatoração do trinômio do 2º grau
Se x' e x'' são raízes da equação do 2º grau ax^2 + bx + c = 0, podemos escrever:
ax² + bx + c = a(x - x')(x - x'')
Inequação do 1º grau
Sejam a e b números reais, com a ≠ 0. Inequações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas na forma:
- ax + b > 0 (maior que)
- ax + b ≥ 0 (maior ou igual que)
- ax + b < 0 (menor que)
- ax + b ≤ 0 (menor ou igual que)
- ax + b ≠ 0 (diferente de)
Resolução de uma inequação do 1º grau
As inequações com as relações >, ≥, <, ≤ são resolvidas aplicando-se uma ou mais das seguintes propriedades:
- Vale a propriedade transitiva para as quatro desigualdades:
- a < b, b < c ⇒ a < c
- Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número de ambos os membros de uma desigualdade, o sentido da desigualdade se mantém:
- a < b ⇒ a + c < b + c
- Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, o sentido da desigualdade se mantém:
- a < b ⇒ a * c < b * c, com c > 0
- Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade fica invertido (> inverte para < e ≥ inverte para ≤):
- a < b ⇒ a * c > b * c, com c > 0
As inequações com a relação ≠ são resolvidas da mesma maneira que uma equação do 1º grau.
Equações Irracionais
Equações que representam a incógnita sob um radical são chamadas de equações irracionais.
Resolução de equações irracionais
A resolução desse tipo de equação fundamenta-se nas propriedades:
- a = b ⇒ aⁿ = bⁿ, para a, b, n números reais, desde que existam as potências aⁿ e bⁿ.
- (ⁿ√a)ⁿ = a, com a real positivo e n natural ≠ 0.
Teorema fundamental da Álgebra na resolução de equações
O produto de dois ou mais números reais é igual a zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for igual a zero.
Esta propriedade é útil na resolução de equações que podem ser representadas na forma de uma expressão fatorada igualada a zero, como por exemplo:
ax² + bx = 0 (c = 0)
Isolando o fator comum x, temos:
x(x + b) = 0
Logo x = 0 (o primeiro fator) ou x + b = 0 ⇒ x = -b (o segundo fator).
Importância do Reforço Escolar
Dominar os conceitos fundamentais da Álgebra é essencial para o sucesso no ENEM e em outras avaliações de Matemática. No entanto, para um aprendizado completo e eficaz, é crucial investir em reforço escolar. Com orientação especializada e prática adicional, você estará preparado para enfrentar qualquer desafio matemático com confiança e alcançar excelentes resultados acadêmicos. Não subestime a importância do reforço escolar em sua jornada educacional. Junte-se a nós para uma preparação completa e eficaz!
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